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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
k) f(x)=e1/xf(x)=e^{1 / x}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=e1/xf(x)=e^{1 / x} siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que el denominador (ese que está en el exponente) sea distinto de cero, es decir, x≠0x \neq 0. 

Por lo tanto el dominio de ff es R−{0}\mathbb{R} -\{0\}

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

- Asíntotas verticales: Como el dominio es R−{0}\mathbb{R} -\{0\}, entonces x=0x = 0 es candidato a ser asíntota vertical. Lo confirmamos estudiando el comportamiento de la función cuando xx tiende a 00 por derecha y por izquierda:

lim⁡x→0+e1/x=e+∞=+∞ \lim_{x \to 0^+} e^{1 / x} = e^{+\infty} = +\infty lim⁡x→0−e1/x=e−∞=0 \lim_{x \to 0^-} e^{1 / x} = e^{-\infty} = 0

Como al menos uno de los límites se va a infinito, entonces tenemos una asíntota vertical en x=0x=0

- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞e1/x=e0=1 \lim_{x \to +\infty} e^{1/x} = e^{0} = 1 lim⁡x→−∞e1/x=e0=1 \lim_{x \to -\infty} e^{1/x} = e^{0} = 1 Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en y=1 y = 1 .

3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

f′(x)=e1/x⋅(−1/x2) f'(x) = e^{1/x} \cdot (-1/x^2)
f′(x)=−e1/xx2 f'(x) = -\frac{e^{1/x}}{x^2}

4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 

−e1/xx2=0-\frac{e^{1/x}}{x^2} = 0

e1/x=0→ e^{1/x} = 0 \rightarrow Absurdo!

Por lo tanto, no hay puntos críticos. 

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x>0 x > 0
b) x<0 x < 0

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

Si querés hacelo explícitamente, elegí un número en cada intervalo y convencete, pero si mirás fijo f′(x)f'(x) vas a ver que siempre es negativa, para cualquier xx que elijas. Por lo tanto, ff es siempre decreciente. 

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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